Diviseurs des puissances d'un nombre premier

Propriété

Soient $p\in \mathcal{P}$ et $\alpha \in {\mathbb{N}}^{\ast }$ .
L'ensemble des diviseurs positifs de $p^{\alpha }$ est $\{1;p;p^2;...;p^{\alpha -1};p^{\alpha }\}$ .

Démonstration

On a :
$p^{\alpha }=\underset{\alpha \text{ fois}}{\underbrace{p\times p\times ...\times p}}=1\times \underset{\alpha \text{ fois}}{\underbrace{p\times p\times ...\times p}}$   

Comme $p$ est premier, ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $p$ , donc cette écriture est optimale (on ne peut pas écrire $p$ comme un produit différent de $1\times p$ ou $p\times 1$ ).

Les diviseurs positifs de $p^{\alpha }$ sont donc tous les produits intermédiaires qui apparaissent dans l'écriture :

$1\times \underset{\alpha \text{ fois}}{\underbrace{p\times p\times ...\times p}}$ .

Remarque

$p^{\alpha }$  possède donc  $\alpha +1$  diviseurs distincts.