Diviseurs des puissances d'un nombre premier

Propriété

Soient \(p \in \mathcal{P}\) et \(\alpha \in \mathbb{N}^\ast\) .
L'ensemble des diviseurs positifs de \(p^\alpha\) est \(\left\lbrace 1 \ ; p \ ; p^2 \ ; ... \ ; p^{\alpha-1} \ ; p^\alpha \right\rbrace\) .

Démonstration

On a :
\(p^\alpha=\underbrace{p \times p \times ... \times p}_{\alpha \text{ fois}}=1 \times \underbrace{p \times p \times ... \times p}_{\alpha \text{ fois}}\)   

Comme \(p\) est premier, ses seuls diviseurs positifs sont \(1\) et \(p\) , donc cette écriture est optimale (on ne peut pas écrire \(p\) comme un produit différent de \(1 \times p\) ou \(p \times 1\) ).

Les diviseurs positifs de \(p^\alpha\) sont donc tous les produits intermédiaires qui apparaissent dans l'écriture :

\(1 \times \underbrace{p \times p \times ... \times p}_{\alpha \text{ fois}}\) .

Remarque

\(p^\alpha\)  possède donc  \(\alpha+1\)  diviseurs distincts.